こんにちは！
高校受験ラボ・進学塾リードアップ代表の山田優輔です！
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\( x + y = 4 \)，\( xy = -2 \) のとき、次の式の値を求めなさい。
(1) \( x^2 + y^2 \)
(2) \( x^2 + 3xy + y^2 \)
(3) \( (x-y)^2 \)
中3数学の「展開・因数分解」の単元で、上のような問題があります。
この手の問題を、数学では「対称式の問題」と呼びます。
この記事では、この「対称式の問題の解き方」を超わかりやすく解説します。
実は、対称式の問題は解き方を知っておかなければ解けません！
ということで、この記事で対称式の問題の解き方を知って、身に付けてください^ ^
「対称式？聞いたことないし、学校でも習ってないぞ！？」
と思うかもしれませんが、しっかり説明していくので安心してくださいね。
それではいきましょう！
高校の数学Ⅰでも対称式の問題が出てきますが、ここでは中3生向けの解き方を解説します。
Contents
対称式と基本対称式の知識をまずは持つ
まずは「対称式」「基本対称式」という用語の知識を持つ必要があります。
対称式・交代式とは？
対称式とは、「\( x \)，\( y \) を入れ替えても、元の式とまったく同じになる式」のことです。
例えば
「\( x+y \)」の〝\( x \)〟と〝\( y \)〟を入れ替えたら、「\( y+x \)」になりますね。
これらの「\( x+y \)」と「\( y+x \)」という式は、
\( x+y = y+x \)
なので、まったく同じものですね！
したがって、「\( x+y \)」は対称式であるといえます。
（同様に「\( y+x \)」も対称式であるといえます。）
逆に、「\( 2x+y \)」の〝\( x \)〟と〝\( y \)〟を入れ替えたら、「\( 2y+x \)」になります。
これらの式はイコールではないですね？
\( 2x+y \neq 2y+x \) ですので。
したがって、「\( 2x+y \)」は対称式ではないです。
（同様に「\( 2y+x \)」も対称式ではないです。）
その他にも対称式の例を挙げておきます。
補足
「\( x \)，\( y \) を入れ替えると、元の式のー1倍になる式」を交代式といいます。
【例】
・\( x-y \)
（⇒入れ替えると \( y-x \) になり、元の式の－1倍）
・\( x^2 – y^2 \)
（⇒入れ替えると \( y^2 – x^2 \) になり、元の式の－1倍）
基本対称式とは？
続いて「基本対称式」についてです。
基本対称式とは、「特別な対称式」のことを指します。
具体的には、次の2つの式です。
なぜこの2つの式を「基本対称式」というのかというと、「すべての対称式のもととなる式だから」です。
「もととなる式ってどういう意味？」というのは、次で説明します！
対称式はすべて基本対称式で表せる！
すべての対称式は、基本対称式で表すことができます。
つまり、「対称式は基本対称式だけの式に変形できる」ということです。
ココが今回の超重要ポイントです！
例えば、対称式「\( x^2 + y^2 \)」は次のように表すことができます。
\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) より、
両辺を入れ替えて \( 2xy \) を移行すると
\( x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy \)
このように、対称式「\( x^2 + y^2 \)」は、基本対称式「\( x+y \)」「\( xy \)」だけを使った式で表すことができます。
前置きが長くなりましたが、これが対称式の基本知識です。
これを踏まえて、本題の「対称式の問題の解き方」に入りましょう！
式の値の対称式の問題の解き方
式の値の対称式の問題は
\( \large \displaystyle \color{red}{ 与式 = (x+y)^2 \pm ●xy } \)
という式変形をします。
補足①
『与式』とは、問題で与えられた式のことです。例えば「\( x^2 + y^2 \) の値を求めなさい」という問題なら、与式は「\( x^2 + y^2 \)」となります。
補足②
右辺の「\( (x+y)^2 \pm xy \)」は、問題文で値を与えられた式で変わることもあります。ピンとこないかもしれませんが、この後解説するので、まずは最後まで読んでみてください。
\( \displaystyle 与式 = (x+y)^2 \pm ●xy \)
という式変形をする前提で、次の手順で解きます。
具体的に問題でやってみせますね！
式の値の対称式の練習問題と解き方
冒頭で紹介した問題と合わせて、2問やっていきます。
問題1
\( x + y = 4 \)，\( xy = -2 \) のとき、次の式の値を求めなさい。
(1) \( x^2 + y^2 \)
(2) \( x^2 + 3xy + y^2 \)
(3) \( (x-y)^2 \)
先ほどの手順通りにやっていきますよ！
【手順①】
まず
\( \displaystyle x^2 + y^2 = (x+y)^2 \pm ●xy \)
と置きます。
【手順②】
①で置いた式の右辺の「\( (x+y)^2 \)」を展開すると
\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
です。
改めて①で置いた式を、右辺の「\( (x+y)^2 \)」展開した形で書き直すと
\( x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 \pm ●xy \)
ここで「この式の左辺と右辺が等しくなるには±●（\( xy \) の係数）に何が入るか？」考えると・・・
「\( -2 \)」ですね！
よって
\( \begin{align}
\displaystyle & x^2 + y^2 = (x+y)^2 \pm ●xy \\
\\
\Rightarrow \ & \color{red}{ x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy }
\end{align} \)
と式変形ができました。
【手順③】
あとは「\( x+y = 4 \)」と「\( xy = -2 \)」を代入して、計算してあげれば終了です。
\( \begin{align}
\color{red}{ x^2 + y^2 } & = (x+y)^2 – 2xy \\
\\
& = 4^2 – 2 \times (-2) \\
\\
& = 16 + 4 \\
\\
& \color{red}{ = 20 \cdots 【答】 }
\end{align} \)
もしわからなくても、数問見ていけば理解できるのでまずは読み進めてくださいね！
続いて(2)もやっていきます。
【手順①】
\( \displaystyle x^2 + y^2 = (x+y)^2 \pm ●xy \)
と置く。
【手順②】
先ほどと同じように、①で置いた式の右辺の「\( (x+y)^2 \)」を展開して、書き直すと
\( x^2 + 3xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 \pm ●xy \)
「この式の左辺と右辺が等しくなるには±●（\( xy \) の係数）に何が入るか？」考えると・・・
「\( +1 \)」ですね！
よって
\( \begin{align}
\displaystyle & x^2 + 3xy + y^2 = (x+y)^2 \pm ●xy \\
\\
\Rightarrow \ & \color{red}{ x^2 + 3xy + y^2 = (x+y)^2 + xy }
\end{align} \)
と式変形ができました。
【手順③】
あとは「\( x+y = 4 \)」と「\( xy = -2 \)」を代入して、計算してあげれば終了です。
\( \begin{align}
\color{red}{ x^2 + 3xy + y^2 } & = (x+y)^2 + xy \\
\\
& = 4^2 + (-2) \\
\\
& = 16 – 2 \\
\\
& \color{red}{ = 14 \cdots 【答】 }
\end{align} \)
どうでしょう？少しわかってきましたか？
このまま(3)もいきます。
(3)は最初にワンクッションやることが増えますが、やり方は全く同じです。
【手順①】
まず与式を展開します。
\( (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)
あとはさっきと同様の流れです。
\( \displaystyle x^2 – 2xy + y^2 = (x+y)^2 \pm ●xy \)
と置く。
【手順②】
「この式の左辺と右辺が等しくなるには±●（\( xy \) の係数）に何が入るか？」考えると・・・
「\( -4 \)」ですね！
よって
\( \begin{align}
\displaystyle & x^2 – 2xy + y^2 = (x+y)^2 \pm ●xy \\
\\
\Rightarrow \ & \color{red}{ x^2 – 2xy + y^2 = (x+y)^2 – 4xy }
\end{align} \)
と式変形ができました。
【手順③】
あとは代入して計算です。
\( \begin{align}
\color{red}{ (x-y)^2 } & = x^2 – 2xy + y^2 \\
\\
& = (x+y)^2 – 4xy \\
\\
& = 4^2 – 4 \times (-2) \\
\\
& = 16 + 8 \\
\\
& \color{red}{ = 24 \cdots 【答】 }
\end{align} \)
問題2
今度は交代式バージョンをやってみましょう。
これのやり方も覚えてマスターすれば、入試レベルも一瞬で解けるようになります。
\( x – y = 5 \)，\( xy = -3 \) のとき、次の式の値を求めなさい。
(1) \( x^2 + y^2 \)
(2) \( x^2 – 6xy + y^2 \)
(3) \( (x + y)^2 \)
問題2は、問題文で「\( x-y \)」「\( xy \)」の値が与えられているので、この2つの式を使って与式を変形します。
【手順①】
まず
\( \displaystyle x^2 + y^2 = (x-y)^2 \pm ●xy \)
と置きます。
【手順②】
①で置いた式の右辺の「\( (x-y)^2 \)」を展開すると
\( (x+y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)
です。
改めて①で置いた式を、右辺の「\( (x-y)^2 \)」展開した形で書き直すと
\( x^2 + y^2 = x^2 – 2xy + y^2 \pm ●xy \)
ここで「この式の左辺と右辺が等しくなるには±●（\( xy \) の係数）に何が入るか？」考えると・・・
「\( +2 \)」ですね！
よって
\( \begin{align}
\displaystyle & x^2 + y^2 = (x-y)^2 \pm ●xy \\
\\
\Rightarrow \ & \color{red}{ x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy }
\end{align} \)
と式変形ができました。
【手順③】
あとは「\( x-y = 5 \)」と「\( xy = -3 \)」を代入して、計算してあげれば終了です。
\( \begin{align}
\color{red}{ x^2 + y^2 } & = (x-y)^2 + 2xy \\
\\
& = 5^2 + 2 \times (-3) \\
\\
& = 25 – 6 \\
\\
& \color{red}{ = 19 \cdots 【答】 }
\end{align} \)
(2)、(3)はスピードアップして手順①②を一気にやって解いていきます。
【手順①・②】
\( x^2 – 6xy + y^2 = (x-y)^2 \color{red}{ – 4 }xy \)
と式変形できます。
【手順③】
\( \begin{align}
\color{red}{x^2 – 6xy + y^2 } & = (x-y)^2 – 4xy \\
\\
& = 5^2 – 4 \times (-3) \\
\\
& = 25 + 12 \\
\\
& \color{red}{ = 37 \cdots 【答】 }
\end{align} \)
(3)は、まずは与式を展開してから式変形を考えます。
【手順①・②】
与式を展開すると
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
よって
\( x^2 + 2xy + y^2 = (x-y)^2 \color{red}{ + 4 }xy \)
と式変形ができる。
【手順③】
\( \begin{align}
\color{red}{ (x + y)^2 } & = x^2 + 2xy + y^2 \\
\\
& = (x-y)^2 + 4xy \\
\\
& = 5^2 + 4 \times (-3) \\
\\
& = 25 – 12 \\
\\
& \color{red}{ = 13 \cdots 【答】 }
\end{align} \)
式の値の対称式の問題の解き方まとめ
さいごに今回の重要事項をまとめます。
以上が式の値の対称式の問題の解き方すべてです。
今回の対称式の問題は入試でもよく出る問題なので、ぜひマスターしておきましょう！
「a＋b=5,ab=6のとき、a－bの値を求めよ。ただし、a＞bとする」という問題の場合は、どう解けば良いですか？
こぐまさん
コメントいただきありがとうございます♪
テキストで分かりづらいかもしれませんが、解説書きますね！
*****ココから*****
(a-b)^2 = (a+b)^2 – 4ab
= 5^2 – 4×6
=25-24
=1
よって、a-b=±1
（※ここは平方根の考え方です。）
ここで、a>bより、a-b>0
（※bを左辺に以降しました）
よって、a-b=1【解】
*****ココまで*****
おっけいですかね？