凸レンズの焦点距離の求め方が、授業を聞いてもよく分からなかった人へ。
- 焦点距離って、どこからどこまでの長さ？
- 問題文に「焦点距離」が出てこないのに、求めさせられる…
- 「2倍」と「半分」がごちゃごちゃになる…
こういう人に向けて書きました。
結論からいうと、焦点距離は次の2通りで求められます。
- 平行な光を当てて、レンズの中心から光が集まる点までの長さをはかる
- 物体と同じ大きさの像ができたとき、レンズから物体までの距離（＝レンズからスクリーンまでの距離）を半分にする
どちらも、レンズの中心から測ることだけ忘れなければ解けます。
焦点距離とは
焦点距離とは、凸レンズの中心から焦点までの距離のことです。
焦点とは、レンズの軸（レンズの中心を通って、レンズに垂直な線）に平行な光が、レンズを通ったあとに集まる点です。
焦点は、レンズの両側に1つずつあります。
レンズの左右どちらの焦点も、レンズの中心からの距離は同じです。
焦点距離は、レンズの厚みで決まります。
厚くふくらんだレンズほど光を強く曲げるので、焦点距離は短くなります。
うすいレンズは光をあまり曲げないので、焦点距離は長くなります。
焦点距離の求め方① 平行な光を当てる
1つ目は、焦点の定義をそのまま使う方法です。
- 凸レンズの軸に平行な光を当てる
- 光がレンズを通って1点に集まる位置にスクリーンを置き、いちばん小さく明るい点にする
- レンズの中心からスクリーンまでの距離をはかる
このときの距離が、そのまま焦点距離です。
実験では、遠くにある物体の光は平行とみなせるので、窓の外の景色や、太陽の光を使うことがあります。
ただし太陽の光は、目で直接見てはいけません。
集めた光で紙がこげることもあるので、扱いに注意しましょう。
焦点距離の求め方② 同じ大きさの像ができる位置から求める
テストで出やすいのは、こちらです。
光学台（ものさしの付いた台）に、物体・凸レンズ・スクリーンを並べて、スクリーンに像を写す実験です。
物体を、焦点距離の2倍の位置に置くと、スクリーンにできる像は次のようになります。
- 像ができる位置は、レンズから反対側に焦点距離の2倍
- 像の大きさは、物体と同じ
- 像の向きは、上下左右が逆（倒立の実像）
この図は焦点距離が10cmのレンズで、物体を焦点距離の2倍の位置に置いたときです。
図のaは物体からレンズまで、bはレンズからスクリーンまでの距離で、a＝b＝20cmになります。
逆にいえば、実験で「同じ大きさの像ができた」と分かれば、次の式で焦点距離が求められます。
焦点距離〔cm〕＝ レンズから物体までの距離〔cm〕÷ 2
例題を解いてみる
例題:物体とスクリーンを40cm離して、その間に凸レンズを置きました。
レンズを動かしたら、スクリーンに物体と同じ大きさの像ができました。
このレンズの焦点距離は何cmですか。
答えは10cmです。
同じ大きさの像ができるのは、物体もスクリーンも、レンズから焦点距離の2倍の位置にあるときです。
だから、物体からレンズまでと、レンズからスクリーンまでは同じ長さで、その合計が40cmです。
レンズから物体までの距離＝40÷2＝20cm
焦点距離＝20÷2＝10cm
つまり、40cmを4で割ると焦点距離になります。
物体の位置と像のできかた
「同じ大きさ」以外のときも、まとめて覚えておくと入試で使えます。
| 物体の位置 | 像の種類 | 像の大きさ | 像の向き |
|---|---|---|---|
| 焦点距離の2倍より遠い | 実像 | 物体より小さい | 上下左右が逆 |
| 焦点距離の2倍 | 実像 | 物体と同じ | 上下左右が逆 |
| 焦点距離の2倍と焦点の間 | 実像 | 物体より大きい | 上下左右が逆 |
| 焦点 | 像はできない | ― | ― |
| 焦点より内側（レンズに近い） | 虚像 | 物体より大きい | 物体と同じ向き |
実像はスクリーンに写せる像で、虚像はスクリーンに写せず、レンズをのぞくと見える像です。
よくある間違い
レンズの端から測ってしまう
焦点距離は、レンズの中心から測ります。
レンズの縁や、レンズを立てている台の端から測ると、ずれます。
半分にするのを忘れる
「物体とスクリーンの距離」や「物体からレンズまでの距離」を、そのまま焦点距離と答えてしまう間違いです。
同じ大きさの像ができたときは、物体からレンズまでが焦点距離の2倍です。
物体とスクリーンの間の距離なら、焦点距離の4倍です。
「何を、何で割るのか」を、図に書いて確かめましょう。
像ができる条件を逆に覚える
「焦点より内側に物体を置いても、スクリーンに像が写る」と思っている人がいます。
焦点より内側では、光が集まらないので、スクリーンには写りません。
このときは、レンズをのぞくと、大きな虚像が見えます（虫めがねで見たときの像です）。
入試ではこう出る
入試では、図の中に焦点距離がそのまま書かれていないことが多いです。
「平行な光が1点に集まった図」から焦点距離を読み取らせる問題が、よく出ます。
この図では、レンズの中心Oから、光が集まった点Xまでが12cmと書かれています。
Xは焦点なので、このレンズの焦点距離は12cmです。
そのうえで、「このレンズの前に物体を置いて、同じ大きさの像をつくるには、物体をレンズから何cmの所に置けばよいか」と続けて聞かれます。
焦点距離12cmの2倍なので、答えは24cmです。
ほかにも、光学台の実験の図から、次のようなことを聞かれます。
- 物体とスクリーンの距離から、焦点距離を求める
- 物体を動かしたとき、スクリーンをどちらへ動かせばよいか
- 像の大きさや向きがどう変わるか
- レンズの上半分を紙でかくしたとき、像がどうなるか（像は欠けず、うすく暗くなる）
どれも、「焦点距離の2倍」を基準に考えれば整理できます。
練習問題
問1（基本）
凸レンズの軸に平行な光を当てると、レンズの中心から15cmの位置で光が1点に集まりました。
このレンズの焦点距離は何cmですか。
問2（基本）
焦点距離が10cmの凸レンズの前、30cmの位置に物体を置きました。
スクリーンに像を写すとき、像の大きさは物体と比べてどうなりますか。
「大きい」「同じ」「小さい」から選びなさい。
問3（入試レベル）
光学台の上で、物体とスクリーンを48cm離して置き、その間に凸レンズを置きました。
レンズを動かすと、スクリーンに物体と同じ大きさの像がはっきりうつりました。
このレンズの焦点距離は何cmですか。
問4（入試レベル）
焦点距離が12cmの凸レンズを使って、スクリーンに物体と同じ大きさの像をつくります。
物体をレンズから何cmの位置に置き、スクリーンはレンズから何cmの位置に置けばよいですか。
問5（記述）
物体を、凸レンズの焦点より内側（レンズに近い位置）に置いたとき、スクリーンに像がうつらない理由を書きなさい。
解答と解説
問1の答え
答え:15cm
考え方:平行な光が集まる点が焦点なので、レンズの中心から集まる点までの距離が、そのまま焦点距離です。
問2の答え
答え:小さい
考え方:焦点距離10cmの2倍は20cmです。
物体は30cmの位置にあって、2倍の位置（20cm）より遠いので、像は物体より小さくなります。
問3の答え
答え:12cm
考え方:同じ大きさの像ができるのは、物体もスクリーンも、レンズから焦点距離の2倍の位置にあるときです。
途中式:
レンズから物体までの距離＝48÷2＝24cm
焦点距離＝24÷2＝12cm
問4の答え
答え:物体は24cm、スクリーンも24cm
考え方:同じ大きさの像ができるのは、物体もスクリーンも、焦点距離の2倍の位置にあるときです。
途中式:
12×2＝24cm
問5の答え
答えの例:焦点より内側では、レンズを通った光が1点に集まらず、広がっていくから。
考え方:スクリーンに写る実像は、光が実際に1点に集まってできます。
焦点より内側では光が広がるので、スクリーンには写らず、レンズをのぞいたときに見える虚像になります。
まとめ
- 焦点距離は、レンズの中心から焦点までの距離
- 平行な光が1点に集まる位置までの距離が、そのまま焦点距離
- 同じ大きさの像ができたとき、物体もスクリーンも焦点距離の2倍の位置にある
- 物体とスクリーンの距離は焦点距離の4倍。だから、4で割れば焦点距離になる
- 焦点より内側に物体を置くと、スクリーンに像はできず、虚像が見える
焦点距離の問題は、最初に「同じ大きさの像」かどうかを確かめるのがコツです。
そうであれば、あとは図に距離を書き込んで、割り算をするだけです。
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高校受験ラボ・進学塾リードアップ代表の山田優輔です！
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